MATEMATIKA ZAMAN YUNANI KUNO

MATEMATIKA ZAMAN YUNANI KUNO

(KAUM PYTHAGORAS)

Sejarah Matematika

Menurut Berggren, JL, 2004, penemuan matematika pada jaman Mesopotamia dan Mesir Kuno, didasarkan pada banyak dokumen asli yang masih ada ditulis oleh juru tulis. Meskipun dokumen-dokumen yang berupa artefak tidak terlalu banyak, tetapi mereka dianggap mampu mengungkapkan matematika pada jamantersebut.  Artefak matematika yang ditemukan menunjukkan bahwa bangsa Mesopotamia telah memiliki banyak pengetahuan matematika yang luar biasa, meskipun matematika mereka masih primitif dan belum disusun secara deduktif seperti sekarang. Matematika pada jaman Mesir Kuno dapat dipelajari dari artefak yang ditemukan yang kemudian disebut sebagai Papyrus Rhind (diedit pertama kalinya pada 1877), telah memberikan gambaran bagaimana matematika di Mesir kuno telah berkembang pesat. Artefak-artefak berkaitan dengan matematika yang ditemukan berkaitan dengan daerah-daerah kerajaan seperti kerajaan Sumeria 3000 SM, Akkadia dan Babylonia rezim (2000 SM), dan kerajaan Asyur (1000 SM), Persia (abad 6-4 SM), dan Yunani (abad ke 3 - 1 SM).

Pada jaman Yunani kuno paling tidak tercatat matematikawan penting yaitu Thales dan Pythagoras. Thales dan Pythagoras mempelopori pemikiran dalam bidang Geometri, tetapi Pythagoraslah yang memulai melakukan atau membuat bukti-bukti matematika. Sampai masa pemerintahan Alexander Agung dari Yunani dan sesudahnya, telah tercatat Karya monumental dari Euclides berupa karya buku yang berjudul Element (unsur-unsur) yang merupakan buku Geometri pertama yang disusun secara deduksi. Risalah penting dari periode awal matematika Islam banyak yang hilang, sehingga ada pertanyaan yang belum terjawab masih banyak tentang hubungan antara matematika Islam awal dan matematika dari Yunani dan India. Selain itu, jumlah jumlah dokumen yang relatif sedikit menyebabkan kita mengalami kesulitan untuk menelusuri sejauh mana peran matematikawan Islam dalam pengembangan matematika di Eropa selanjutnya. Tetapi yang jelas, sumbangan matematikawan Islam cukup besar bersamaan dengan kebangkitan pemikiran modern yang muncul himpunanelah jaman kegelapan sampai sekitar abad ke 15 himpunanelah masehi. 

Penemuan alat cetak mencetak pada jaman modern, yaitu sekitar abad ke 16, telah memungkinkan para matematikawan satu dengan yang lainnya melakukan komunikasi secara lebih intensif, sehingga mampu menerbitkan karya-karya hebat. Hingga sampailah pada jamannya Hilbert yang berusaha untuk menciptakan matematika sebagai suatu sistem yang tunggal, lengkap dan konsisten. Namun usaha Hilbert kemudian dapat dipatahkan atau ditemukan kesalahannya oleh muridnya sendiri yang bernama Godel yang menyatakan bahwa tidaklah mungkin diciptakan matematika yang tunggal, lengkap dan konsisten. Persoalan Geometri dan Aljabar kuno, dapat ditemukan di dokumen yang tersimpan di Berlin. Salah satu persoalan tersebut misalnya memperkirakan panjang diagonal suatu persegi panjang. Mereka menggunakanhubungan antara panjang sisi-sisi persegi panjang yang kemudian mereka menemukan bentuk segitiga siku-siku. Hubungan antara sisi-sisi siku-siku ini kemudian dikenal dengan nama Teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras ini sebetulnya telah digunakan lebih dari 1000 tahun sebelum ditemukan oleh Pythagoras. 

 Orang-orang Babilonia telah menemukan sistem bilangan sexagesimal yang kemudian berguna untuk melakukan perhitungan berkaitan dengan ilmu-ilmu perbintangan. Para astronom pada jaman Babilonia telah berusaha untuk memprediksi suatu kejadian dengan mengaitkan dengan fenomena perbintangan, seperti gerhana bulan dan titik kritis dalam siklus planet (konjungsi, oposisi, titik stasioner, dan visibilitas pertama dan terakhir). Mereka menemukan teknik untuk menghitung posisi ini (dinyatakan dalam derajat lintang dan bujur, diukur relatif terhadap jalur gerakan jelas tahunan Matahari) dengan berturut-turut menambahkan istilah yang tepat dalam perkembangan aritmatika. Matematika di Mesir Kuno disamping dikarenakan pengaruh dari Masopotamia dan Babilonia, tetapi juga dipengaruhi oleh konteks Mesir yang mempunyai aliran sungai yang lebar dan panjang yang menghidupi masyarakat Mesir dengan peradabannya. Persoalan hubungan kemasyarakatan muncul dikarenakan kegiatan survive bangsa Mesir menghadapi keadaan alam yang dapat menimbulkan konflik diantara mereka, misalnya bagaimana menentukan batas wilayah, ladang atau sawah dipinggir sungai Nil himpunanelah banjir bandang terjadi yang mengakibatkan tanah mereka tertimbun lumpur hingga beberapa meter. Dari salah satu kasus inilah kemudian muncul gagasan atau ide tentang luas daerah, batas-batas dan bentukbentuknya. Maka pada jaman Mesir Kuno, Geometri telah tumbuh pesat sebagai cabang Matematika. 

Dalam waktu relatif singkat (mungkin hanya satu abad atau kurang), metode yang dikembangkan oleh orang Babilonia dan Masir Kuno telah sampai ke tangan orang-orang Yunani. Misal, Hipparchus (2 abad SM) lebih menyukai pendekatan geometris pendahulu Yunani, tetapi kemudian ia menggunakan metode dari Mesopotamia dan mengadopsi gaya seksagesimal. Melalui orang-orang Yunani itu diteruskan ke para ilmuwan Arab pada abad pertengahan dan dari situ ke Eropa, di mana itu tetap menonjol dalam matematika astronomi selama Renaissance dan periode modern awal. Sampai hari ini tetap ada dalam penggunaan menit dan detik untuk mengukur waktu dan sudut. Aspek dari matematika Babilonia yang telah sampai ke Yunani telah meningkatkan kualitas kerja matematika dengan tidak hanya percaya denganbentuk-bentuk fisiknya saja, melainan diperoleh kepercayaan melalui buktibukti matematika. Prinsip-prinsip Teorema Pythagoras yang sudal dikenal sejak jaman Babilonia yaitu sekitar seribu tahun sebelum jaman Yunani, mulai dibuktikan secara matematis oleh Pythagoras pada jaman Yunani Kuno.  

Pada jaman Yunani Kuno, selama periode dari sekitar 600 SM sampai 300 SM , yang dikenal sebagai periode klasik matematika, matematika berubah dari fungsi praktis menjadi struktur yang koheren pengetahuan deduktif. Perubahan fokus dari pemecahan masalah praktis ke  pengetahuan tentang kebenaran matematis umum dan perkembangan obyek teori mengubah matematika ke dalam suatu disiplin ilmu. Orang Yunani menunjukkan kepedulian terhadap struktur logis matematika. Para pengikut Pythagoras berusaha untuk menemukan secara pasti  Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku. Tetapi mereka tidak dapat menemukan angka yang tertentu dengan skala yang sama yang berlaku untuk semua sisi-sisi segitiga tersebut. Hal inilah yang kemudian dikenal dengan persoalan Incommensurability, yaitu adanya skala yang tidak sama agar diperoleh bilangan yang tertentu untuk sisi miringnya. Jika dipaksakan digunakan skala yang sama (atau commensurabel) maka pada akhirnya mereka menemukan bahwa panjang sisi miring bukanlah bilangan bulat melainkan bilangan irrasional. 

Prestasi bangsa Yunani Kuno yang monumental adalah adanya karya Euclides tentang Geometri Aksiomatis. Sumber utama untuk merekonstruksi pra-Euclidean buku karya Euclides bernama Elemen (unsur-unsur), di mana  sebagian besar isinya masih relevan dan digunakan hingga saat kini. Element terdiri dari 13 jilid. Buku I berkaitan dengan kongruensi segitiga, sifat-sifat garis paralel, dan hubungan daerah dari segitiga dan jajaran genjang; Buku II menetapkan kehimpunanaraan yang berhubungan dengan kotak, persegi panjang, dan segitiga; Buku III berisi sifat-sifat Lingkaran; dan Buku IV berisi tentang poligon dalam lingkaran. Sebagian besar isi dari Buku I-III adalah karya-karya Hippocrates, dan isi dari Buku IV dapat dikaitkan dengan Pythagoras, sehingga dapat dipahami bahwa buku Elemen ini memiliki sejarahnya hingga berabad-abad sebelumnya. Buku V menguraikan sebuah teori umum proporsi, yaitu sebuah teori yang tidak memerlukan pembatasan untuk besaran sepadan. Ini teori umum berasal dari Eudoxus. Berdasarkan teori, Buku VI menggambarkan sifat bujursangkar dan generalisasi dari teori kongruensi pada Buku I.  Buku VII-IX berisi tentang apa yang oleh orang-orang Yunani disebut "aritmatika," teori bilangan bulat. Ini mencakup sifat-sifat proporsi numerik, pembagi terbesar, kelipatan umum, dan bilangan prima(Buku VII); proposisi pada progresi numerik dan persegi (Buku VIII), dan hasil khusus, seperti faktorisasi bilangan prima yang unik ke dalam, keberadaan yang tidak terbatas jumlah bilangan prima, dan pembentukan "sempurna" angka, yaitu angka-angka yang sama dengan jumlah pembagi (Buku IX). Dalam beberapa bentuk, Buku VII berasal dari Theaetetus dan Buku VIII dari Archytas. Buku X menyajikan teori garis irasional dan berasal dari karya Theaetetus dan Eudoxus. Buku Xiberisi tentang bangun ruang; Buku XII membuktikan theorems pada rasio lingkaran, rasio bola, dan volume piramida dan kerucut. 

Warisan Matematika Yunani, terutama dalam geometri , sangat besar. Dari periode awal orang-orang Yunani merumuskan tujuan matematika tidak dalam hal prosedur praktis tetapi sebagai disiplin teoritis berkomitmen untuk mengembangkan proposisi umum dan demonstrasi formal. Kisaran dan keragaman temuan mereka, terutama yang dari  abad 3 SM, geometri  telah menjadi materi pelajaran selama berabad-abad himpunanelah itu, meskipun tradisi yang ditransmisikan ke Abad Pertengahan dan Renaissance tidak lengkap dan cacat. Peningkatan pesat dari matematika di abad ke-17 didasarkan sebagian pada pembaharuan terhadap matematika kuno dan matematika pada jaman Yunani. Mekanika dari Galileo dan perhitungan-perhitungan yang dibuat Kepler dan Cavalieri, merupakan inspirasi langsung bagi Archimedes. Studi tentang geometri yang dilakukan oleh Apollonius dan Pappus dirangsang oleh pendekatan baru dalam geometri-misalnya, analitik yang dikembangkan oleh Descartes dan teori proyektif dari Desargues Girard. Matematika Yunani lebih berbobot daripada matematika yang dikembangkan oleh kebudayaan-kebudayaan pendahulunya. Semua naskah matematika pra-Yunani yang masih terpelihara menunjukkan penggunaan penalaran induktif, yakni pengamatan yang berulang-ulang yang digunakan untuk mendirikan aturan praktis. Sebaliknya, matematikawan Yunani menggunakan penalaran deduktif. Bangsa Yunani menggunakan logika untuk menurunkan simpulan dari definisi dan aksioma, dan menggunakan kekakuan matematika untuk membuktikannya.Bangsa Yunani juga mengembangkan sistem numerasinya sendiri.Sistem numerasi yang digunakan bangsa Yunani ada 2 macam yaitu sistem Attic (Herodianic) dan sistem Ionia. Dalam sistem numerasi Attic lambang untuk bilangan satu sampai empat digunakan lambang tongkat dengan perulangan lambang, misalnya dua dilambangkan dengan II , sedangkan lima dilambangkan dengan ┌ ,yaitu huruf awal dari Penta (lima). Bilangan lima sampai sembilan dilambangkan dengan kombinasi ┌ dengan tongkat │. Selanjutnya untuk melambangkan bilangan sepuluh, seratus, seribu,sepuluh ribu digunakan huruf-huruf awal nama bilangan itu, yakni sepuluh dilambangkan dengan ∆ (Deka = sepuluh), seratus dengan Н (Hekaton= seratus), seribu dengan χ (Khiloi =seribu),sepuluh ribu dengan Ϻ(Myrioi = sepuluh ribu).

Numera Lambang Attic :

1

10

100

1000

10000 Ι

Δ [Deka]

Η [Hɛkaton]

Χ [K ʰ ilioi / k ʰ ilias]

Μ[Myrion]

Lambang lain yang digunakan sebagai penyingkat yaitu “┌” yang berarti lima. Jika digabung dengan lambang lain, maka nilainya lima kali lambang dasar yang tertulis. Dalam sistem numerasi ini, lambang nol belum ada. Sistem numerasi ini adalah sistem numerasi aditif dan multiplikatif. Multiplikatif terlihat pada penggunaan lambang dimana setiap lambang dasar yang sama dapat disingkat dengan menggunakan lambang tersebut.

Contoh:

23 = Δ ΔIII

45 = Δ Δ Δ Δ ┌

50 = Δ Δ Δ Δ Δ atau éΔ

120 = H Δ Δ

1234 = XHH Δ Δ ΔIIII

43210 =MMMMXXX HH Δ

Sistem numerasi Ionia digunakan setelah sistem numerasi Attic. Sistem numerasi Ionia menggunakan alphabet Yunani sebagai lambang bilangan, yaitu sembilan huruf untuk melambangkan bilangan satu sampai dengan bilangan sembilan,sembilan huruf untuk melambangkankelipatan sepuluh yang lebih kecil dari seratus, dan sembilan huruf lagi untuk melambangkan kelipatan seratus yang lebih kecil dari seribu.

Huruf-huruf itu mempunyai nilai-nilai sebagai berikut :
1 = α alpha 10 = ι iola
2 = β beta 20 = κ kappa
3 = γ gamma 30 = λ lambda
4 = δ delta 40 = μ mu
5 = ε epsilon 50 = ν nu
6 = ζ obselet digamma 60 = ξ xi
7 = ι zeta 70 = ο omicron
8 = η eta 80 = π pi
9 = θ theta 90 = ά obselet koppa

100 = ρ rho
200 = σ sigma
300 = τ tau
400 = υ upsilon
500 = φ phi
600 = χ chi
700 = ψ psi
800 = ω omega
900 = Ў obselet sampi

Contoh – contoh :
1. 12 = ι β
2. 21 = κ α
3. 247 = σ μ ς

Sebagaimana kita lihat pada contoh-contoh di atas sampai ratusan, sistem angka alphabet yunani ini mempunyai lambang tersendiri.
Untuk menyatakan ribuan, di atas sembilan angka dasar yang pertama (dari .. sampai ) dibubuhi tanda aksen (‘) sebagai contoh α’ = 1000, ε’ = 5000.
Sedangkan kelipatan 10.000 dinyatakan dengan menaruh angka yang bersangkutan di atas tanda M.
Contoh.
4. 5000 = ε ‘
5. 3567 = γ’ φ ξ ς

Dibandingkan dengan sistem angka Mesir Purba, maka penulisan dengan sistem angka alphabet Yunani ini lebih singkat dan sistematis. Sebagai contoh untuk penulisan bilangan 500 dalam sistem angka Mesir Purba lambang 9 ditulis sampai 5 kali tetapi dalam sistem angka alphabet yunani telah mempunyai lambang tersendiri yaitu φ

 

Kebangkitan matematika pada abad 17 sejalan dengan kebangkitan pemikiran para filsuf sebagai anti tesis abad gelap dimana kebenaran didominasi oleh Gereja. Maka Copernicus merupakan tokoh pendobrak yang menantang pandangan Gereja bahwa bumi sebagai pusat jagat raya; dan sebagai gantinya dia mengutarakan ide bahwa bukanlah Bumi melainkan Mataharilah yang merupakan pusat tata surya, sedangkan Bumi mengelilinginya. Jaman kebangkitan ini kemudian dikenal sebagai Jaman Modern, yang ditandai dengan munculnya tokoh-tokoh pemikir filsafat sekaligus matematikawan seperti Immanuel Kant, Rene Descartes, David Hume, Galileo, Kepler, Cavalieri, dst.

Pythagoras dan Pengikutnya

            Filosofi Pythagoras mempunyai kedudukan tersendiri dalam alam pikiran Yunani. Filosofinya terdasar pada pandangan agama dan paham keagamaan. Suatu tarikat, atau boleh juga disebut suatu aliran mistik.

            Pythagoras berasal dari Samos. Ia dilahirkan kira-kira dalam tahun 580 SM. Menurut umurnya ia sepangkat dengan Xenophanes. Oleh karena kota tempat lahirnya itu diperintahkan oleh seorang tiran, sang-perkosa yang buas bernama Polykrates, ia berangkat dari situ dan pergi mengembara ke seluruh dunia Grik. Akhirnya ia sampai di sebelah selatan Penanjung Italia, di mana orang Grik berangsur-angsur mencari tempat kediaman. Pada tahun 530 SM ia menetap di kota Kroton.

            Di kota itu didirikannya sebuah perkumpulan agama, yang disebut-sebut orang kaum Pythagoras. Perkumpulan itu menjadi sebuah tarikat. Pythagoras terpengaruh oleh aliran mistik yang kembang di waktu itu dalam alam Yunani, yang bernama Orfisisme. Ujung tarikat Pythagoras ialah mendidik kebatinan dengan mencucikan ruh. Pythagoras percaya akan kepindahan jiwa dari makhluk yang sekarang kepada makhluk yang akan datang.

            Menurut kepercayaan Pythagoras manusia itu asalnya Tuhan. Jiwa itu adalah penjelmaan daripada Tuhan yang jatuh ke dunia karena berdosa. Hidup murni adalah jalan untuk menghapuskan dosanya itu. Tetapi kemurnian tidak tercapai sekaligus, melainkan berangsur-angsur.Sebab itu jiwa itu  berulang-ulang turun ke tubuh makhluk dahulu. Menurut kepercayaannya, sifat binatang yang buas hinggap di udara. Dengan kepercayaannya itu Pythagoras menjadi penganjur vegetarisme, memakan sayur-mayur dan buah-buahan saja.

            Hidup di dunia ini menurut paham Pythagoras adalah persediaan buat akhirat. Sebab itu dari sini dikerjakan hidup di hari kemudian itu. Musik adalah juga sebuah jalan untuk membersihkan ruh. Dalam penghidupan kaum Pythagoras music itu dimuliakan.

            Pythagoras sendiri tidak ada meninggalkan ajaran yang tertulis. Apa yang keluar dari mulutnya sendiri susah memisahkannya dari yang ditambahkan oleh murid-muridnya. Ajaran Pythagoras harus dikatakan paham kaum Pythagoras. Oleh pengikutnya ia dipandang sebagai dewa. Artinya, kalau Pythagoras yang mengatakan, sudah mesti benar. Terutama dalam ilmu matematik dan ilmu berhitung kesohor namanya. Dialah yang mula-mula sekali mengemukakan teori dari hal angka-angka yang menjadi dasar ilmu berhitung. Orang yang belajar matematik kenal akan segi-tiga Pythagoras. Dan dari ilmu matematik Pythagoras melompat ke dalam dunia pandangan! Alam ini katanya, tersusun sebagai angka-angka. Dimana ada matematik, ada susunan, ada kesejahteraan. Sebab itu Pythagoras suka berkata tentang “kesejahteraan di langit”. Mana yang bergerak, berbunyi.Sebab itu di langit ada bunyi.

            Matematik juga berkuasa dalam segala barang. Dengan jalan ini Pythagoras sampai ke pokok ajarannya yang mengatakan bahwa “segala barang adalah angka-angka” Demikianlah pengruh matematik atas dirinya dan pandangannya, sehingga pada segala barang ia melihat angka-angka. Menurut kebiasaan, Pythagoras membedakan juga angka yang genap dengan yang ganjil. Yang genap itu tidak berhingga, dan yang ganjil itu menentukan. Angka yang menjadi menjadi dasar ialah satu. Angka satu itu genap dan juga ganjil. Jadinya tidak-berhingga dan juga berhingga. Angka tiga ajaib, sebab padanya terdapat awal pertengahan dan akhir. Angka empat mahabesar, sebab 1+2+3+4=10. Dan 10 adalah angka yang sepenuh-penuhnya. Sebab hitungan dari itu ke atas tidak lain dari mengulangi saja lagi dari 1 sampai 10.

terbatas : tak terbatas

ganjil : genap

satu : banyak

kanan : kiri

laki-laki : perempuan

diam : gerak

lurus : bengkok

terang : gelap

baik : jahat

bujur sangkar : empa persegi panjang

           

Demikianlah caranya kaum Pythagoras mengajarkan bahwa semuanya itu angka-angka. Angka itu adalah asal dari segalanya. Segala perhubungan dapat ditentukan dengan angka-angka. Demikianlah lagi : angka 1 ialah titik, angka 2 baris, angka 3 daratan, angka 4 badan. Selanjutnya angka 1 juga dasar laki-laki, angka 2 dasar perempuan.

Ajaran Pythagoras pada hakikatnya terlalu tinggi bagi pengikutnya yang banyak. Sebab itu terjadi akhirnya perpecahan dalam dua cabang : aliran mistik keagamaan dan aliran ilmu. Kaum Pythagoras yang terbanyak yang mendewakan gurunya, tidak tertarik hatinya dengan ajaran-ajaran tentang hal angka-angka matematik, perhubungan musik dan ilmu bintang. Semuanya dipandang tidak berfaedah dan terlalu gaib. Mereka semata-mata menempuh jalan mencucikan ruh dengan hidup bersahaja, berjalan dengan tidak beralas kaki, dan tidak makan daging, ikan dan kacang. Dengan berbuat begitu mereka menyangka melakukan ajaran gurunya.

Demikianlah gugurnya mazhab Pythagoras. Tetapi namanya tercantum dalam sejarah pikiran ilmu sebagia pembuka berbagai jalan. Muridnya yang agak ternama karena banyak menuliskan ajaran gurunya ialah Philolaos. Tentang angka-angka Philolaos berkata, bahwa angka itu tanda kebenaran. Tak ada barang yang benar dan jelas tampaknya, jika perhubungannya ke luar dan ke dalam tidak ditentukan oleh angka-angka.

-          Dr. K. Bertens. 1975. Sejarah Filsafat Yunani. Yogyakarta: Kanisius

-          Hatta, Mohammad. 1938. Alam Pikiran Yunani. Jakarta : Tintamas

-          (-----, 1997, Dasar-dasar matematika Wikipedia, ensiklopedia bebas. Http://en.wikipedia.org/wiki/GNU_FDL)