MATEMATIKA EROPA JILID 1

MATEMATIKA EROPA

( ABAD PERTENGAHAN)

a.         Abad 13

Leonardo Fibonacci salah seorang sarjana matematika abad 13 yang terkemuka. Ia juga dikenal sebagai Leonardo dari Pisa. Dalam perlawatannya ke timur ia berkesempatan untuk berhubungan dengan sarjana matematika Arab pada masa itu. Ia mempelajari metode berhitung Hindu-Arab. Pada tahun 1202 ia menulis buku denga judul Liber Abaci. Buku itu berisi aritmetika dan aljabar, mengenalkan sistem angka Hindu-Arab ke Eropa. Ia menguraikan metoda menghitung bilangan bulat dan pecahan, menghitung akar pangkat dua, akar pangkat tiga dari suatu bilangan.

Dalam buku itu diuraikan penyelesaian persamaan kuadrat dengan metode letak salah dan penyelesaian secara aljabar. Di dalam buku itu terdapat soal-soal, dikemudian hari menjadi sumber soal-soal yang dikutip buku-buku teks selama berabad-abad. Salah satu dari soal menarik pada buku itu yang terkenal sekarang ialah barisan Fibonacci, yakni 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . . . , m, n, m + n, . . . . .

Pada tahun 1220 ia menulis buku yang berjudul “Practica Geometriae”, berisi pelajaran yang luas tentang Geometrid an Trigonometri.

Pada tahun 1225 ia menulis buku dengan judul “Liber Quadratorium”, mengenai analisa tak tertentu. Bakat matematikanya yang luar biasa itu mendorong kaisar Frederik II mengundangnya ke istana untuk mengikuti perlombaan matematika.

Bakatnya yang luar biasa ini menyebabkan dia dipanggil oleh raja Federick II untuk ikut dalam suatu perlombaan yang tiga soalnya sudah disiapkan oleh Jhon dari Pelermotiga dan salah satunya yaitu x²+5 adalah suatu kuadrat bilangan dan x²-5 juga merupakan suatu kuadrat dari sebuah bilangan, dan Fibonacci menjawab dengan tepat bahwa x bernilai 41/12, sebab (41/12)²  + 5 = (49/12)²  - 5 = (31/12)² problem ini terdapat dalam buku Liber Quadrtorum, selain itu Fibonacci juga menuliskan identitas-identitas dalam buku Liber Quadrtorum seperti;

(a²+b²)(c²+d²) = (ac+bd)² + (bc–ad)²

                                 = (ad+bc)² + (ac–bd)²

Pada abad 13 berdirilah universitas Paris OXFORD CAMBRIDGE, PADUA dan NAPELES. Universitas itu mempercepat penyebaran ilmu pengetehuan itu di Eropa. Pada abad ini menghasilkan beberapa ahli matematikawan, yaitu Jordanus Saxo, Campanus, Sacrobosco, Roger Bacon, dan Nemorarius.

b.  Abad ke-14 (Masa suram Ilmu Pengetahuan)

Pada abad ini terjadi peperangan di Eropa yang disebut perang seratus tahun. Dan dalam abad ini juga terjadi wabah di Eropa yang disebut kematian hitam (black death) yang mematikan hampir 1/3 penduduk Eropa.

Oleh kejadian itu perkembangan ilmu hampir tak ada. Namun masih tercatat ahli-ahli yang berjasa memelihara ilmu pengetahuan pada masa itu dan mengembangkannya. Nicole Oresme (1323 - 1382) lahir di Normandia. Ia menulis lima karya matematika dan beberapa terjemahan karya Aristoteles. Dalam salah satu karyanya, ia memperkenalkan eksponen pecahan. Dalam  karya lain ia perkenalkan penentuan letak suatu titik yang menjadi awal dari geometri kordinat. Brosur-brosur berjasa menghidupkan kembali kegiatan Matematika atau renaisans dari Matematika. Karyanya memberi landasan dari Descartes untuk pemgembangan Matematika abad-15.

 Thomas Bradwardine (1290 - 1349) menulis brosur-brosur tentang konsep kontinu, deskrit, besar tak berhingga, kecil tak berhingga. Ia juga menulis brosur tentang aritmetika, dan geometri.          

c.  Abad ke 15 (Zaman Renaisans)

Dalam sejarah abad 15 disebut zaman renaisans, yaitu lahirnya kembali perhatian kepada kebudayaan Gerik dan Romawi klassik dan berusaha mencari nilai-nilai baru dari kebudayaan itu.

Runtuhnya kerajaan Bizantium dan jatuhnya Konstantinopel ke tangan Turki, pengungsi-pengungsi mengalir ke Italia. Pengungsi-pengungsi itu membawa ilmu pengetahuan Gerik dan Arab ke Eropa. Buku-buku ilmu pengetahuan yang diterjemahkan dari bahasa Arab dan bahasa Gerik ke dalam bahasa Latin mulai tersebar di Eropa. Pada abad 15 itu pula ditemukan alat percetakan, sehingga perdagangan buku ilmu pengetahuan pun turut berkembang. Kegiatan matematika pada abad 15 itu berpusat di Italia, di Nurenberg, Wina dan Praha.

Nicolas Cusa (1401 – 1464) menjadi gubernur Roma pada tahun 1448. Ia menulis beberapa brosur matematika dan memperbaharui kalender. Ia juga tertarik untuk menyelesaikan soal membusursangkarkan lingkaran dan soal membagi tiga sama suatu sudut.

George von Peurbach (1423 – 1461) setelah selesai belajar matematika di Italia ia tinggal di Wina dan mendirikan universitas di kota itu. Karya dari Peurbach terdapat mengenai astronomi, aritmetika, dan menyusun table sinus. Ia menterjemahkan langsung buku karya Plotomeus dari bahasa Gerik ke bahasa Latin. Selain itu juga menterjemahkan karya Apollonius, Heron dan Archimedes dari bahasa Gerik ke bahasa Latin.

Murid Peurbach, John Muller (1436 – 1476) melengkapi terjemahan Almagest ke bahasa Latin. Karya John Muller dengan judul De Triangulis Omnimodis ditulis pada tahun 1464 dan diterbitkan pada tahun 1533. Buku itu mengenai trigonometri bidang dan trigonometri bola yang ditulis terpisah dari astronomi. Muller juga dikenal dengan nama Regiomontanus kemudian tinggal menetap di Nurenberg dan pada tahun 1471 mendirikan observatorium di kota itu. Kemudian ia mendirikan percetakan dan menulis brosur-brosur astronomi.

Dalam buku trigonometri ia menulis tiga syarat untuk dapat menentukan unsure-unsur suatu segitiga. Misalnya, tentukan unsur-unsur suatu segitiga jika ditentukan satu sisi, garis tinggi pada sisi itu dan perbandingan dua sisi yang lain.  Penyelesaian soal itu masih menggungakan aljabar retorik. Ia juga menulis table fungsi tangent.

Nicolas Chuquet sarjana Perancis menulis aritmetika pada tahun 1484. Dalam tulisannya ia menguraikan bilangan-bilangan rasional, irrasional, teori persamaan dan mengenai eksponen bulat positif dan negative yang ditulis dalam bentuk aljabar sinkopasi.

Luca Pacioli (1445 – 1509) seorang biarawan Italia menyusun ringkasan Aritmetika, aljabar, geometri pada masa itu dalam suatu buku dengan judul summa. Dalam buku itu di uraikan algoritma penarika akar pangkat dua, aritmetika dagang, tata buku dan penyelesaian persamaan-persamaan dengan metode letak salah.

Alajabar yang ditulisnya masih aljabar sinkopasi. Singkatan-singkatan yang ditulisnya antara lain:

p                      singkatan dari piu artinya tambah

m                     singkatan dari meno artinya kurang

co                    singkatan dari cosa artinya benda yang tak diketahui dipakai untuk perubah x

ce                     singkatan dari censo dipakai untuk x^2

cu                    singkatan dari cuba dipakai untuk x^3

cece                 singkatan dari censo censo dipakai untuk x^4

ae                     singkatan dari aequalis artinya sama.

Adapun lambing “+” dan “-“ pertama kali dikenal pada penerbitan aritmetika di Leipzig pada tahun 1489 oleh Johann Widman. Tetapi pemakaian lambang ini pun belum sebagai operasi hitung menjumlah dan mengurang, baru dipakai sebagai menyatakan lebih dan kurang. Pemakaian lambing + dan – sebagai operasi hitung dilakukan oleh Van der Hoecke dari negeri Belanda.

Kegiatan perdagangan pada abad 15 itu meningkat pula penerbitan aritmetika yang perlu bagi perdagangan itu sendiri. Tahun 1478, terbit buku aritmetika dengan judul “TREVISO ARITHMETIC” di kota Treviso suatu kota pada jalur perdagangan dari Venesia ke kota-kota di sebelah utara. Isi buku mengenai bilangan-bilangan, perhitungan menggungakan bilangan-bilangan yang terkait dengan usaha-usaha perdagangan. Tahun 1491, Filippo Calandri menerbitkan buku aritmetika yang menjadi dasar cara membagi yang dikenal sekarang. Soal-soal pada buku itu menguraikan  perhitungan bea cukai pada perdagangan di Italia.  Di Negara Eropa lain pun terbit juga buku-buku aritmetika, antara lain ditulis Jacob Kobel pada tahun 1514 di Jerman dan di Inggris oleh Robert Recorde pada tahun 1542 dengan judul The Ground of Artes.

d.      ABAD 16

1.      Menuju Aljabar dengan Lambang-Lambang

Robert Recorde ( ± 1510 – 1558) menulis karya dalam aljabar, geometrid an astronomi.pada tahun 1557  ia menulis aljabar dengan judul “THE WHETSTONE OF DE WITTE”. Dalam buku itulah pertama kali digunakan lambing “=” untuk kesamaan seperti digunakan sekarang.

Christoff Rudolf ( ± 1525) menulis buku aljabar denga judul “DIE COSS”. Dalam buku itu diperkenalkan lambing menarik akar “√”, barangkali sebagai singkatan dari radix.

Michael Stifel (1486 – 1567) seorang biarawan jerman, menerbitkan buku dengan judul “ARITHMETICA INTEGRA” pada tahun 1553. Dalam buku itu ia menguraikan bilangan rasional, irrasional, deret aritmetika, deret geometrid an koefisien binomial hingga pangkat ke tujuh.

Dalam buku itu sudah memakai lambing +, - sebagai operasi hitung dan memakai huruf untuk yang tak diketahui.

2.      Aljabar yang Berdiri Sendiri

Spione del Ferro (1465 – 1526) seorang guru besar matematika pada universitas Bologna pada tahun 1515 menulis persamaan pangkat tiga x^3+mx=n, tetapi tidak menerbitkannya hanya memberitahu kepada seorang mahasiswanya Antonio Fior.

Tartaglia (1499 – 1557) lahir di Brescia Italia, putra seorang petani miskin. Pada serbuan Perancis ke Italia ia disiksa berat sehingga tak dapat berbicara baik. Orang tuanya meninggal dalam pembunuhan masal oleh pasukan Perancis. Maka Tartaglia sebagai seorang yatim piatu harus menhidupi dirinya sendiri. Namun mampu belajar dengan baik atas biaya sendiri. Ada kalanya ia belajar dengan menggunakan batu nisan di kuburan sebagai pengganti batu tulis. Kemudian ia menjadi guru sebagai mata pencahariannya. Ia meninggal di Venesia.

Tartaglia ahli pertama menggunakan matematika pada ilmu altileri. Ia juga menulis aritmetika tentang perdagangan dan bea cukai tentang euclides dan Archimedes.

Pada tahun 1535, ia menerbitkan penemuannya menyelesaikan persamaan pangkat tiga dalam bentuk x^3+px^2=n. Maka Antonio Fior menentangnya untuk melakukan pertandingan matematika menyelesaikan persamaan pangkat tiga. Maka tartaglia mempersiapkan diri untuk menyelesaikan persamaan itu dengan dua cara sedangkan Antonio hanya dengan satu cara. Maka Tartaglia memenangkan pertandingan itu.

Girolamo Cardano (1501 – 1576) kelahiran Pavia, seorang yang sangat berbakat dalam berbagai bidang ilmu. Ia menulis tentang aritmetika, astronomi, fisika dan bidang lain. Karyanya yang paling terkenal adalah mengenai aljabar dengan judul “ARS MAGNA”, ditulis pada tahun 1545. Dalam buku itu dimuat hasil penemuan Tartaglia untuk menyelesaikan persamaan pangkat tiga itu.

Penyelesaian persamaan kuadrat sudah mengikutsertakan akar-akar negatif. Ia sudah menghitung dengan bilangan imaginer, menghitung akar persamaan x3 + mx = n dikerjakan sebagai berikut :

Perhatikan dulu kesamaan

(a – b)3 + 3ab(a – b) = a3 – b3

Jika dipilih 3ab = m,    a3 – b3 = n      dan      a – b = x

            3ab = m → b = m/3a maka a3 – b3 = a3 = a3 – (m/3a)3 = n

            a6 - (m/3)3 = n,           a3 → (a3)2 – na3 - (m/3)3 = 0

            a3 = (n ± √(n^2 )+ 4(〖m/3)〗^3)/2

Pada tahun 1540, Zuanne de Tonini da Coi mengajukan soal kepada Cardano yang menghasilkan persamaan pangkat empat. Tetapi Cardano tak dapat menyelesaikannya. Murid Cardano, Ferrari berhasil menyelesaikan soal itu dan penyelesaiannya ditulis juga dalam buku Ars Magna.penyelidikan akar-akar persamaan derajat tinggi berlanjut terus pada masa berikutnya untuk metoda penyelesaian secara umum.

3.      Aljabar Menggunakan Huruf

Francois Viete (1540 - 1630) lahir di Fontenay, Perancis. Ia seorang ahli hukum dan anggota parlemen, tetapi dengan bakat luar biasa ia menggunakan waktu terluangnya mempelajari matematika. Bahkan ia kemudian dipandang sebagai ahli matematika terbesar abad-16 sebagai bapak Aljabar Modern. Ia menulis buku trigonometri pada tahun 1579 dengan judul Canon Mathematicus Seu Ad Triangula. Buku itulah yang pertama di Eropa yang menyelesaikan soal-soal trigonometri secara sistematis. Ia menyatakan cos n θ, n = 1, 2, 3,...,9 dengan cos θ. Buku itu juga menguraikan persamaan pangkat tiga dengan jawaban trigonometri.

Pada tahun 1591 ia menulis aljabar dengan judul In Artem Analiticam Isagoge. Ia mulai menyusun aljabar dengan menggunakan huruf-huruf. Huruf hidup menyatakan yang tak diketahui dan huruf mati untuk yang ditentukan. Sebelum Viete, lambang penulisan pangkat yang berbeda ditulis dengan huruf yang berbeda walaupun basisnya sama. Ia sudah memakai lambang + dan - , tetapi belum memakai lambang untuk sama dengan, ia masih memakai kata aequatur.

A  X

A quadratum X2

A cubum X3

Maka 3 px3 + 2 qx2 – 4rx2 = 2s  P3 in A cub + Q2 in A quad – R plano 4 in A aequatur S solido 2. Judul ketiganya Supplementum Geometriae tahun 1593, di dalamnya membahas tentang sudut segitiga, penyelesaian persamaan kubik, dan mengkontruksi heptagon (segi 7) beraturan.

4.      Persamaan Derajat Tinggi

Pada tahun 1600, ia menulis aljabar dengan judul “De Numerosa Potestantum Resolutione”. Dalam buku itu ia menjelaskan pendekatan akar persamaan derajat tinggi secara berturut. Metode Viete itulah yang dipakai di Eropa hingga tahun 1680.

Sejarah mencatat usaha-usaha menyelesaikan persamaan derajat tinggi itu secara umum. Pada tahun 1637 Descartes juga member penyelesaian persamaan pangkat empat itu. Pada tahun 1750 Euler mencoba menyelesaikan persamaan pangkat lima.

P. Ruffini (1765 – 1823) seorang ahli fisika Italia mencoba menyelesaikan persamaan pangkat lima itu pada tahun 1805, dan pada tahun 1813 membuktikan bahwa penyelesaian persamaannya adalah tak mungkin.

Niels Hendrik Abel (1802 – 1829) seorang ahli matematika Norwegia membuktikan tak mungkin menentukan akar  persamaan pangkat lima atau lebih dinyatakan dengan koefisien persamaan itu.

5.         Mengakhiri Abad 16

Simon Stevin (1548 – 1620) dari negeri Belanda menulis aritmetika, ia ahli pertama menulis tentang pecahan decimal, ia juga menulis tentang statistic dan hidrostatika.   

Nicolas Copernicus (1473 – 1543) dari Polandia. Ia menulis teori tentang alam semesta yang dilengkapi pada tahun 1530 tetapi baru diterbitkan pada tahun 1543 setelah ia meninggal. Ia menulis perbaikan trigonometri.

George Joachim Rhaeticus (1514 – 1576) murid dari Copernicus berasal dari Jerman, selama 12 tahun ia menyusun tabel trigonometri dari 6 fungsi trigonometri itu dalam interval detik.

Rhaeticus lah sarjana pertama mendefinisikan fungsi trigonometri dinyatakan dengan sisi-sisi segitiga siki-siku. Tabel Rhaeticus diterbitkan pada tahun 1593 oleh seeorang pendeta Jerman peminat matematika yakni Bartholomaus Pitiscus (1561 – 1613).dapatlah disimpulkan bahwa pada akhir abad 16, perkembangan matematika sudah meletakan dasar pengembangan selanjutnya yang cepat pada abad 17.

Aljabar sudah mulai ditulis dengan lambang-lambang menggunakan huruf, perhitungan bilangan sudah baku dengan system bilangan Hindu-Arab. Pecahan decimal sudah tersusun, teori persamaan derajat tinggi sudah diselesaikan dalam bentuk tertentu. Bilangan negating sudah termasuk dalam system bilangan. Fungsi-fungsi trigonometri sudah disusun sistematik bersama tabel-tabel fungsi trigonometri itu.

Cajori, Florian. 2010. A History of Mathematics

Salah Khaduri dkk. Sejarah Matematika Klasik dan Modern http://ulyanajra.blogspot.com/2012/01/perkembangan-matematika-eropa-sampai.html

http://www.suaramedia.com/sejarah/sejarah-islam/13072-ahmad-ibnu-yusuf-ilmuwan-ahli-matematika-dari-mesir.html