LOGIKA MATEMATIKA

LOGIKA MATEMATIKA 

 Pengertian  Logika

Logika adalah sebuah produk dari proses pertimbangan pikiran yang di ekspresikan dalam bentuk lisan ataupun tulisan. Dalam bahasa latin, ilmu tentang logika ini disebutkan dengan kata logike epitisme. Ilmu tersebut akan mencakup pembahasan tentang bagaimana berfikir secara bijak, terorganisir dan struktural. Jika dikaji secara etimologi kata logika ini diambil dari bahasa Yunani dari kata logos. Arti logos ini dalam bahasa tersebut adalah sebuah bentuk akhir dari pertimbangan dan disampaikan melalui komunikasi. Dalam perkembangannya pada bahasa bahasa di dunia, logis dikaitkan dengan sesuatu yang bisa diterima melalui akal.

 Dasar -Dasar Logika

Prinsip logika ini didasarkan atas bisa tidaknya diterima oleh akal. Valid atau tidak validnya sebuah pernyataan akan diproses oleh logis, bukan saja didasarkan pada isi permasalahan yang dipertimbangkan. Tentu bisa disepakati bahwasanya logika ini menjadi sarana untuk menganalisa sebuah pernyataan. Keterkaitan antara kesimpulan, bukti yang ada (sering di sebut premis) menjadi dasar dasar penting dalam menggunakan logika. Sebagai contoh bisa dilihat bagaimana penggunaan logika silogistik tradisional yang diperkenalkan oleh Aristoteles. Proses pengunaan nalar akan membutuhkan premis premis atau bukti awal untuk menyelesaikan sebuah argumen yang ada.

Dalam hal proses dan berdasarkan keadaan premis yang telah ada, maka penggolongan logika ini akan dipartisi menjadi dua bahagian. Pertama itu logika deduktif. Penggunaan logika deduktif ini dimana nilai validitas suatu pernyataan bukan berupa benar atau salah. Validitas dinilai berupa efek konsekuensi dari setiap bukti (premis) yang telah ada. Jadi dalam hal ini hasil penalaran akan terimbas dari evaluasi dari premis yang telah diberikan. Sebagai contoh, Setiap Unggas memiliki sayap. Setiap yang memiliki sayap memiliki bulu. Dua kalimat tersebut dianggap sebagai premis awal. Kesimpulan yang diperoleh bukan masalah benar atau tidak, melainkan efek dari premis ini. Kesimpulan dari dua premis tersebut adalah setiap unggas memiliki bulu.

Yang kedua adalah penalaran induktif. Penarikan kesimpulan di sini berdasarka pada fakta fakta unik dari premis untuk mendapatkan sebuah kesimpulan yang umum. Lebih detailnya, contohnya seperti ini. Sapi australia menyusui, sapi belanda menyusui, sapi indonesia menyusui, sapi california menyusui. Dari sekian premis yang ada bisa ditarik sebuah kesimpulan umum bahwasanya setiap sapi menyusui.

Perbedaan antara deduktif dan induktif dalam logika ini bisa terdefenisikan sebagai berikut. Untuk  deduktif, apabila semua premis benar maka kesimpulan bernilai pasti benar. Sementara untk Induktif jika semua premis benar maka kesimpulan tersebut belum tentu benar. Tadi mungkin disebutkan kesimpulan tidak berupa valid benar atau salah melainkan tergantung premis. Maksudnya semua dari premis yang ada tugas utama penalar hanya mencari kesimpulan. Yang terpenting di dapat kesimpulan dulu yang sesuai dengan arus pengambilan kesimpulan. Pada awalnya tersebut kita mengabaikan nilai kebenaran premis yang ada, seperti setiap unggas memiliki sayap (abaikan benar salahnya), setiap sayap pasti memiliki bulu (abaikan saja dulu nilai kebenarannya) ditarik kesimpulan berdasarkan premis yang ada setiap unggas memiliki bulu. Nah setelah mendapat kesimpulan setiap unggas memiliki bulu, jika ingin mengetahui benar atau tidak maka haarus dicek dulu kebenaran dari premis awal tadi. 

 Sejarah Singkat dan Perkembangan Logika

Dasar dari logika adalah penalaran, sejak manusia ada di dunia ini, manusia  telah  menggunakan akal pikirannya untuk menarik sebuah kesimpulan  ataupun penalaran Logika berasal dari kata Yunani kuno λόγος (logos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Sebagai ilmu, logika disebut dengan logike episteme (Latin: logica scientia) atau ilmu logika (ilmu pengetahuan) yang mempelajari kecakapan untuk berpikir secara lurus, tepat, dan teratur.

Masa Yunani Kuno, logika dimulai sejak Thales (624 SM - 548 SM), filsuf Yunani pertama yang meninggalkan segala dongeng, takhayul, dan cerita-cerita isapan jempol dan berpaling kepada akal budi untuk memecahkan rahasia alam semesta.

Thales mengatakan bahwa air adalah arkhe (Yunani) yang berarti prinsip atau asas utama alam semesta. Saat itu Thales telah mengenalkan logika induktif. Aristoteles kemudian mengenalkan logika sebagai ilmu, yang kemudian disebut logica scientica. Aristoteles mengatakan bahwa Thales menarik kesimpulan bahwa air adalah arkhe alam semesta dengan alasan bahwa air adalah jiwa segala sesuatu. Dalam logika Thales, air adalah arkhe alam semesta, yang menurut Aristoteles disimpulkan dari:

·         Air adalah jiwa tumbuh-tumbuhan (karena tanpa air tumbuhan mati)

·         Air adalah jiwa hewan dan jiwa manusia

·         Air jugalah uap

·         Air jugalah es

Jadi, air adalah jiwa dari segala sesuatu, yang berarti, air adalah arkhe alam semesta. Sejak saat Thales sang filsuf mengenalkan pernyataannya, logika telah mulai dikembangkan. Kaum Sofis beserta Plato (427 SM-347 SM) juga telah merintis dan memberikan saran-saran dalam bidang ini.

Pada masa Aristoteles logika masih disebut dengan analitica , yang secara khusus meneliti berbagai argumentasi yang berangkat dari proposisi yang benar, dan dialektika yang secara khusus meneliti argumentasi yang berangkat dari proposisi yang masih diragukan kebenarannya. Inti dari logika Aristoteles adalah silogisme.

Pada 370 SM - 288 SM Theophrastus, murid Aristoteles yang menjadi pemimpin Lyceum, melanjutkan pengembangn logika.

Istilah logika untuk pertama kalinya dikenalkan oleh Zeno dari Citium 334 SM - 226 SM pelopor Kaum Stoa. Sistematisasi logika terjadi pada masa Galenus (130 M - 201 M) dan Sextus Empiricus 200 M, dua orang dokter medis yang mengembangkan logika dengan menerapkan metode geometri.

Porohyus (232 - 305) membuat suatu pengantar (eisagoge) pada Categoriae, salah satu buku Aristoteles.
Boethius (480-524) menerjemahkan Eisagoge Porphyrius ke dalam bahasa Latin dan menambahkan komentar- komentarnya.

Johanes Damascenus (674 - 749) menerbitkan Fons Scienteae. Abad pertengahan dan logika modern.

Pada abad 9 hingga abad 15, buku-buku Aristoteles seperti De Interpretatione, Eisagoge oleh Porphyus dan karya Boethius masih digunakan.

Thomas Aquinas 1224-1274 dan kawan-kawannya berusaha mengadakan sistematisasi logika. Lahirlah logika modern dengan tokoh-tokoh seperti:

·                     Petrus Hispanus (1210 - 1278)

·                     Roger Bacon (1214-1292)

·                     Raymundus Lullus (1232 -1315) yang menemukan metode logika baru yang dinamakan Ars Magna, yang merupakan semacam aljabar pengertian.

·                     William Ocham (1295 - 1349)

Pengembangan dan penggunaan logika Aristoteles secara murni diteruskan oleh Thomas Hobbes (1588 - 1679) dengan karyanya Leviatan dan John Locke (1632-1704) dalam An Essay Concerning Human Understanding. Francis Bacon (1561 - 1626) mengembangkan logika induktif yang diperkenalkan dalam bukunya Novum Organum Scientiarum. J.S. Mills (1806 - 1873) melanjutkan logika yang menekankan pada pemikiran induksi dalam bukunya System of Logic

Lalu logika diperkaya dengan hadirnya pelopor-pelopor logika simbolik seperti:

·                     Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) menyusun logika aljabar berdasarkan Ars Magna dari Raymundus Lullus. Logika ini bertujuan menyederhanakan pekerjaan akal budi dan lebih mempertajam kepastian.

·                     George Boole (1815-1864)  

·                     John Venn (1834-1923)

·                     Gottlob Frege (1848 - 1925)

Lalu Chares Sanders Peirce (1839-1914), seorang filsuf Amerika Serikat yang pernah mengajar di John Hopkins University,melengkapi logika simbolik dengan karya-karya tulisnya. Ia memperkenalkan dalil Peirce (Peirce's Law) yang menafsirkan logika selaku teori umum mengenai tanda (general theory of signs). Puncak kejayaan logika simbolik terjadi pada tahun 1910-1913 dengan terbitnya Principia Mathematica tiga jilid yang merupakan karya bersama Alfred North Whitehead (1861 - 1914) dan Bertrand Arthur William Russel (1872 - 1970). Logika simbolik lalu diteruskan oleh Ludwig Wittgenstein (1889-1951), Rudolf Carnap (1891-1970), Kurt Godel (1906-1978), dan lain-lain.

Pada abad kesembilan belas, George Boole (1815 - 1864) berhasil mengembangkan Logika Simbolik. Bukunya yang berjudul Low of Though mengembangkan logika sebagai sistem matematika yang abstrak. Logika Simbolik ini merupakan logika formal yang semata-mata menelaah bentuk dan bukan isi dari apa yang dibicarakan. Ada dua pendapat tentang Logika Simbolik yang merangkum keseluruhan maknanya, yaitu  

1.                  Logika simbolik adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah (absah), khususnya yang dikembangkan dengan penggunaan metode-metode matematika dan dengan bantuan simbol-simbol khusus sehingga memungkinkan seseorang menghindarkan makna ganda dari bahasa sehari-hari (Frederick B. Fitch dalam bukunya “Symbolic Logic”).

2.                  Pemakaian simbol-simbol matematika untuk mewakili bahasa. Simbol-simbol itu diolah sesuai dengan aturan-aturan matematika untuk menetapkan apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah.

Studi tentang logika berkembang terus dan sekarang logika menjadi ilmu pengetahuan yang luas dan yang cenderung mempunyai sifat teknis dan ilmiah. Aljabar Boole, salah satu topik yang merupakan perluasan logika (dan teori himpunan), sekarang ini digunakan secara luas dalam mendesain komputer. Penggunaan simbol-simbol Boole dapat mengurangi banyak kesalahan dalam penalaran. 

Ketidakjelasan berbahasa dapat dihindari dengan menggunakan simbol-simbol, karena setelah problem diterjemahkan ke dalam notasi simbolik, penyelesaiannya menjadi bersifat mekanis. Tokoh-tokoh terkenal lainnya yang menjadi pendukung perkembangan logika simbolik adalah De Morgan, Leonard Euler (1707 - 1783), John Venn (1834 - 1923), Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell (1872 - 1970). 

D. Pembagian Logika Matematika

Dalam logika matematika, terdapat beberapa tahap yang dibahas, yaitu :

1.      Pernyataan

Pernyataan yaitu kalimat yang mempunyi nilai benar atau salah, tetapi dengan pernyataan keduanya (Benar-salah). Sebuah kalimat tidak dapat ditentukan sebagai pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan kebenaran atau kesalahan dan bersifat relatif. Dalam logika matematika terdapat dua jenis pernyataan, yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka.

Pernyataan tertutup adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilaibenar/salahnya.
pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum dapat dipastikan nilai benar/salah nya.

Contoh :

• 2 X 4 = 8 (Sudah pasti benar / Pernyataan tertutup)
• 15 : 5 = 5 (Sudah pasti salah / Pernyataan tertutup)
• Gula putih rasanya manis (Harus dibuktikan dahulu / Pernyataan terbuka)
• Jarak antara Bogor dan Bekasi adalah dekat(Pernyataan relatif)

2.      Negasi

Negasi atau Ingkaran merupakan pernyataan yang isinya mengingkari pernyataan atau berisi kalimat sangakalan, negasi biasanya dibentuk dengan cara menambahkan kata “tidak benar bahwa” pada awal kalimatnya atau memberikan simbol ” ~”pada awal pernyataannya.

Contoh:

• Pernyataan 1
• Bumi itu Bulat
• Pernyataan 2
• Tidak benar bahwa Bumi itu bulat.

3.      Konjungsi

Konjungsi yaitu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung “dan” atau disimbolkan dengan “^”. Pernyataan konjungsi hanya memiliki nilai benar jika kedua pernyataan di dalamnya bernilai benar. Jika salah satu pernyataan bernilai salah, maka pernyataan konjungsi juga bernilai salah.

Perhatikan tabel kesimpulan :

4.      Disjungsi

Disjungsi adalah pernyatan majemuk yang dihubungkan dengan kata “atau” yang disimbolkan dengan “V” . Disjungsi merupakan kebalikan dari konjungsi. Pernyataan disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan yang terdapat didalamnya bernilai salah. Jika salah satu pernyataan bernilai benar, maka pernyataan disjungsi juga bernilai benar.

Perhatikan tabel dibawah ini :

   

5.      Implikasi yaitu pernyataan majemuk yang diawali dengan kata jika dan dihubungkan dengan kata hubung “maka” yang disimbolkan dengan “=>”.Misal “p => q” dibaca “p maka q”.

Perhatikan tabel dibawah ini:

      

6. Biimplikasi yaitu bentuk kompleks sari implikasi yang berarti “jika dan hanya jika” yang disimbolkan dengan “<=>”. Misal p <=> q dibaca “p jika dan hanya jika q”.

Perhatikan tabel dibawah ini:

7.      Ekuivalensi pernyataan majemuk yaitu persesuaian yang bisa diterapkan dalam konsep-taan majemuk yang telah dijelaskan diatas, dengan metode ini kita dapat mengetahui negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi. Konsep ekuivalensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu, seperti rumus berikut ini.

8. Konvers

Konvers merupakan kebalikan dari implikasi yaitu ditandai dengan pertukaran letak. Misalkan “p => q” , maka koners nya adalah “q => p”.

9. Invers

Invers adalah lawan dari implikasi. Dalam invers, pernyataan yang terdapat pada pernyataan majemuk merupakan negasi dari pernyataan pada implikasi. Misal p => q, maka inversnya adalah ” ~p => ~q”

10. Kontraposisi

Sementara kontraposisi merupakan kebalikan daripada invers sama halnya dengan konvers, hanya pernyataan majemuknya merupakan negasi atau ingkaran. Misalkan invers “~p => ~q” . Maka kontraposisi nya adalah “~q => ~p”.

11. Kantor Pernyataan

Pernyataan kuantor yaitu bentuk pernyataan yang didalamnya terdapat konsep kuantitas. terdapat dua jenis kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial. Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau semua. Sedangkan Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada, sebagian, beberapa dan terdapat.

12. Ingkaran dari pernyataan berkuantor

Pernyataan berkuantor memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari berkuantor universal adalah kuantor eksistensial begitu juga sebaliknya. Perhatikan contoh berikut.

p : beberapa mahasiswa memiliki semangat belajar yang tinggi

∼p : semua mahasiswa tidak memiliki semangat belajar yang tinggi.

 Penarikan Kesimpulan

Kesimpulan dapat dilakukan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarnya yang disebut premis. Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada diperoleh pernyataan yang baru yang disebut kesimpulan/konklusi yang diturunkan dari premis yang ada. Penarikan kesimpulan seperti itu sering disebut dengan argumentasi. Suatu argumentasi dikatakan sah Jika premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar. Terdapat 3 metode dalam penarikan kesimpulan, yaitu : Modus ponens, Modus Tolens, dan Silogisme.

Perhatikan Contoh Berikut.

•      Modus ponens

premis 1 : p →q
premis 2 : p ( modus ponens)
__________________
Kesimpulan: q

Arti Modus Ponens adalah “jika diketahui p → q dan p, maka bisa ditarik kesimpulan q“.

•      Modus Tollenspremis 1 : p →q
premis 2 : ~q ( modus tollens)
__________________
Kesimpulan: ~p

Modus Tollens berarti “jika diketahu p → q dan ~q, maka bisa ditarik kesimpulan ~p“.

•      Silogisme

premis 1 : p→q
premis 2 : q → r ( silogisme)
_________________
Kesimpulan: p →r

Silogisme berarti “jika diketahu p → q dan q→r, maka bisa ditarik kesimpulan

Contoh soal logika Matematika :

1. Diketahui premis-premis:

Premis 1: Jika Mesir bergolak dan tidak aman maka beberapa warga asing dievakuasi.
Premis 2: Semua warga asing tidak dievakuasi. Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah…

a.    Jika Mesir tidak bergolak atau aman maka beberapa warga asing dievakuasi

b.    Jika semua warga asing dievakuasi maka Mesir bergolak dan tidak aman

c.    Mesir bergolak tetapi aman.

d.    Mesir tidak bergolak atau aman.

e.    Mesir tidak bergolak dan semua warga asing tidak dievakuasi.

2. Dari argumentasi berikut: Jika ibu tidak pergi, maka adik senang. Jika adik senang, maka dia tersenyum. Kesimpulan yang sah adalah …

A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum
B. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum
C. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum
D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum
E. Ibu pergi atau adik tersenyum

Rasyad, Rasdihan. 2003. Logika Al-jabar. Jakarta: Gramedia Widia Sarana Indonesia

            Imrona, Mahmud. 2013. Aljabar Linear Dasar. Jakarta: Erlangga.