ALJABAR

ALJABAR

Pengertian Aljabar

Aljabar berasal dari Bahasa Arab “al- jabr” yang berarti “pertemuan”, “hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang. Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini, dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana  penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui.

Ø  Macam – Macam bentuk aljabar

Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut ini:

1. Aljabar Elementer, yang mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan riil direkam dalam simbol sebagai konstanta dan variabel, dan aturan yang membangun ekspresi dan persamaan Matematika yang melibatkan simbol-simbol.

Aljabar Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuan Matematika apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika, dimana bilangan dan operasi Aritmatika (seperti +, −, ×, †) muncul juga dalam Aljabar, tetapi disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan simbol (seperti a, x, y). Hal ini sangat penting sebab: Hal ini mengijinkan kita menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertama untuk penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sistem bilangan riil.

Dengan menggunakan simbol, alih-alih menggunakan bilangan secara langsung, mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematika yang mengandung variabel yang tidak diketahui (sebagai contoh “Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x + 1 = 10”). Hal ini juga mengijinkan kita untuk membuat relasi fungsional dari rumus-rumus matematika tersebut (sebagai contoh “Jika anda menjual x tiket, dan kemudian anda mendapat untung 3x - 10 rupiah, dapat dituliskan sebagai f(x) = 3x - 10, dimana f adalah fungsi, dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja”).

 2. Aljabar Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang mempelajari Struktur Aljabar semacam Grup, Ring dan Medan (fields) yang didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis.

 3. Aljabar Linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor (termasuk Matriks).

4. Aljabar Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua Struktur  aljabar. Dalam studi Aljabar lanjut, sistem aljabar aksiomatis semacam Grup, Ring, Medan dan Aljabar di atas sebuah Medan (algebras over a field) dipelajari bersama dengan telaah Struktur Geometri  Natural yang kompatibel dengan Struktur Aljabar tersebut dalam bidang Topologi.

5. Aljabar Komputer, pada bagian ini penggunaan aljabar akan terintegrasi dalam pengumpulan simbolik objek matematika serta bagaimana memanipulatif simbol tersebut.

Ø  Istilah – istilah yang perlu di fahami dalam bentuk aljabar

Istilah – istilah ini merupakan unsur – unsur yang terdapat dalam bentuk aljabar , unsur – unsur tersebut adalah :

1. Variabel  disebut juga dengan peubah , yang memiliki p engertian lambang pengganti bilangan yang belum di ketahui . Contoh variabel : x , y , a , b , xy

2. Koefisien yaitu angka yang terdapat di depan variabel .

contoh : x+3 = koefisiennya adalah 1 , 3x+5 = koefisiennya adalah 3

3. Konstanta ,yaitu suku dari suatu bentuk aljabar yang berdiri sendiri

contoh : 4x + 5y + 6 , maka konstanta dari bentuk aljabar tersebut adalah 6

4. Suku , yaitu nilai yang menyusun suatu bentuk aljabar yang berupa variabel , koefisien ataupun konstanta. 

Asal Usul atau Sejarah Aljabar

Asal mula Aljabar dapat ditelusuri berasal dari bangsa Babilonia Kuno yang mengembangkan sistem aritmatika yang cukup rumit, dengan hal ini mereka mampu menghitung dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang ini. Dengan menggunakan sistem ini, mereka mampu mengaplikasikan rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui untuk kelas masalah yang biasanya dipecahkan dengan menggunakan  persamaan Linier, Persamaan Kuadrat dan Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa Mesir, dan kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina dalam milenium pertama sebelum masehi,  biasanya masih menggunakan metode geometri untuk memecahkan persamaan seperti ini, misalnya seperti yang disebutkan dalam “the Rhind Mathematical Papyrus‟ ,”Sulba Sutras‟, “Euclids Elements‟, dan “The Nine Chapters on the Mathematical Art‟. Hasil karya bangsa Yunani dalam Geometri, yang tertulis dalam kitab Elemen, menyediakan kerangka berpikir untuk menggeneralisasi formula matematika di luar solusi khusus dari suatu permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk menyatakan dan memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika Deduksi.

Sekitar tahun 300 S.M seorang sarjana Yunani kuno Euclid menulis buku yang  berjudul "Elements" Dalam buku itu ia mencantumkan beberapa rumus aljabar yang benar untuk semua bilangan yang ia kembangkan dengan mempelajari bentuk-bentuk geometris. Perlu diketahui, orang-orang Yunani kuno menuliskan permasalahan-permasalahan secara lengkap jika mareka tidak dapat memecahkan permasalahan-permasalahan tersebut dengan menggunakan geometri. Metode inilah yang kemudian menjadikan kemampuan mereka untuk memecahkan  permasalahan-permasalahan yang mendetail menjadi terbatasi.

Seiring dengan perkembangan zaman, Pada abad ke-3, Diophantus of Alexandria (250 M) menulis sebuah buku berjudul Aritmetika, dimana ia menggunakan simbol-simbol untuk  bilangan-bilangan yang tidak diketahui dan untuk operasi-operasi seperti penambahan dan  pengurangan. Sistemnya tidak sepenuhnya dalam bentuk simbol, tetapi berada diantara sistem Euclid dan apa yang digunakan sekarang ini.Lambat laun bangsa Arab mulai mengenal teori yang dimiliki negara jajahan tersebut.

Kemudian munculah tokoh yang sekarang ini dianggap sebagai penemu teori Aljabar, dialah Al-Khawarizmi, seorang muslim keturunan Usbekistan dan lahir pada tahun 780 masehi atau 194 Hijriah menurut kalender islam. Dibidan pendidikan, telah dibuktikan bahwa ialah seorang tokoh Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan kemahiran al-Khawarizmi  bukan hanya meliputi bidang syariat tetapi juga dalam bidang falsafah, logika, aritmetik, geometri, musik, sastra, sejarah Islam dan ilmu kimia. Keahlian dirinya pada ilmu matematika telah membawa dirinya menciptakan pemakaian Secans dan Tangens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda ia telah bekerja di bawah pemerintahan Khalifah al-Ma’mun, daerah Bayt al-Hikmah di Baghdad. al-Khawarizmi bekerja dalam sebuah observatory atau tempat ilmu matematik dan astronomi yang ia gali lebih dalam. Al-Khawarizmi  juga dipercayai memimpin perpustakaan khalifah.

Matematikawan Yunani di jaman Hellenisme, Diophantus, secara tradisional dikenal sebagai “Bapak Aljabar‟, walaupun sampai sekarang masih diperdebatkan siapa sebenarnya yang  berhak atas sebutan tersebut Al-Khwarizmi atau Diophantus?. Mereka yang mendukung Al-Khwarizmi menunjukkan fakta bahwa hasil karyanya pada prinsip reduksi masih digunakan sampai sekarang ini dan ia juga memberikan penjelasan yang rinci mengenai pemecahan  persamaan kuadratik. Sedangkan mereka yang mendukung Diophantus menunjukkan Aljabar ditemukan dalam Al-Jabr adalah masih sangat elementer dibandingkan Aljabar yang ditemukan dalam “Arithmetica‟, karya Diophantus. Matematikawan Persia yang lain, Omar Khayyam, membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari persamaan kubik. Matematikawan India Mahavira dan Bhaskara, serta Matematikawan Cina, Zhu Shijie, berhasil memecahkan berbagai macam persamaan kubik, kuartik, kuintik dan polinom tingkat tinggi lainnya.

Peristiwa lain yang penting adalah perkembangan lebih lanjut dari aljabar, terjadi pada  pertengahan abad ke-16. Ide tentang determinan yang dikembangkan oleh Matematikawan Jepang Kowa Seki di abad 17, diikuti oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, dengan tujuan untuk memecahkan Sistem Persamaan Linier secara simultan dengan menggunakan Matriks. Gabriel Cramer juga menyumbangkan hasil karyanya tentang Matriks dan Determinan di abad ke-18. Aljabar Abstrak dikembangkan pada abad ke-19, mula-mula berfokus pada teori Galois dan pada masalah keterkonstruksian (constructibility).

2.3 Tokoh-tokoh Dalam Mengembangkan Aljabar

a.         Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi, Ia adalah yang pertama kali yang mencetus Al-Jabar dalam bukunya dengan judul “Al-kitab al-jabr wal-Muqabala” kitab ini merupakan karya yang sangat monumental pada abad ke-9 M. ia merupakan seorang ahli matematika dari Persia yang dilahirkan pada tahun 194 H/780 M, tepatnya di Khawarizm, Uzbeikistan.

b.        Al-Qalasadi dalam mengembangkan matematika sungguh sangat tak ternilai. Ia sang matematikus Muslim di abad ke-15, kalau tanpa dia boleh jadi dunia dunia tak mengenal simbol-simbol ilmu hitung. Sejarang mencatat, al Qalasadi merupakan salah seorang matematikus Muslim yang berjasa memperkenalkan simbol-simbol Aljabar. Symbol-simbol tersebut pertama kali dikembangkan pada abad 14 oleh Ibnu al-Banna kemudian pada abad 15 dikembangkan oleh al-Qalasadi, al-Qalasadi memperkenalkan symbol-simbol matematika dengan menggunakan karakter dari alphabet Arab.

Ia menggunakan wa yang berarti “dan” untuk penambahan (+), untuk pngurangan (-), al-Qalasadi menggunakan illa berarti “kurang”. Sedangkan untuk perkalian (x), ia menggunakan fi yang berarti “kali”. Simbol ala yang berarti ”bagi” digunakan untuk pembegian (/).

c.         Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1 Desember 1792 – 24 Februari 1856) adalah matematikawan Rusia. Ia dikenal sebagai orang yang mengembangkan geometri non-euclides (independen dari hasil karya Janos Bolyai) yang diumumkan pada 23 Februari 1826, serta metode menghampiri akar persamaan aljabar yang dikenal dengan nama Metode Dandelin – Graffe.

d.        Sharaf al-Dīn al-Muẓaffar ibn Muḥammad ibn al-Muẓaffar al-Ṭūsī (1135-1213) adalah matematikawan dan astronom Islam dari Persia. Sharif al-Din mengajar berbagai topik matematika, astronomi dan yang terkait, seperti bilangan, tabel astronomi, dan astrologi. Al-Tusi menulis beberapa makalah tentang aljabar. Dia memberikan metode yang kemudian dinamakan sebagai metode Ruffini-Horner untuk menghampiri akar persamaan kubik. Meskipun sebelumnya metode ini telah digunakan oleh para matematikawan Arab untuk menemukan hampiran akar ke-n dari sebuah bilangan bulat, al-Tusi adalah yang pertama kali yang menerapkan metode ini untuk memecahkan persamaan umum jenis ini. Dalam Al-Mu'adalat(Tentang Persamaan), al-Tusi menemukan solusi aljabar dan numerik dari persamaan kubik dan yang pertama kali menemukan turunan  polinomial kubik, hasil yang penting dalam kalkulus diferensial.

e.         Omar Khayyam, ilmuwan yang berasal dari Persia ini membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari persamaan kubik.

f.         Kowa Seki ilmuwan yang berasal dari Jepang pada abad 17, ia mengambangkan tentang determinan.

 Cara Pengoperasian Bentuk Aljabar

Operasi hitung bentuk aljabar dapat berupa perkalian satu suku dengan dua suku, perkalian dua suku dengan dua suku dua, pembagian bentuk aljabar, dan perpangkatan bentuk aljabar. Sebelum memahami lebih jauh tentang operasi hitung bentuk aljabar, perlu dipahami tiga sifat berikut.

1)      Sifat Komutatif

·         a + b = b + a, dengan a dan b \in R (bilangan riil)

2)      Sifat Asosiatif

·         (a + b) + c = a + (b + c) dengan a, b, dan c \in R (bilangan riil)

3)      Sifat Distributif

·         a(b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c \in R (bilangan riil)

Ketiga sifat di atas memeiliki peranan penting dalam memahami konsep faktorisasi bentuk Aljabar. Sebelum belajar mengenai pemfaktoran bentuk aljabar, perlu dipahami operasi hitung bentuk Aljabar terlebih yang terdiri atas penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan  pembagian, dan perpangkatan yang akan dibahas di bawah ini.

Ø  Penjumlahan dan Pengurangan

Operasi hitung penjumlahan dan pengurangan suku aljabar dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengrurangi koefisien antara suku-suku yang sejenis. Perhatikan contoh berikut ini!

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut ini!

a. 4x + y – 2x

b. 3a2b – 5ab - 2a2b

Penyelesaian:

a. 4x + y – 2x = 4x - 2x + y
                       = 2x + y

b. 3a²b – 5ab - 2a²b = 3a²b - 2a²b - 5ab
                                = a²b - 5ab

Selain dengan cara di atas, penjumlahan dan pengurangan pada suku satu, suku dua, atau suku banyak dapat dihitung dengan cara bersusun ke bawah. Perhatikan contoh berikut ini!

Ø  Perkalian 

Pada bentuk-bentuk aljabar berlaku sifat-sifat penjumlahan dan perkalian seperti pada bilangan bulat. Beberapa sifat tersebut antara lain:

1. Sifat komutatif penjumlahan, yaitu a + b = b + a
2. Sifat asosiatif penjumlahan, yaitu a + (b + c) = (a + b) + c
3. Sifat komutatif perkalian, yaitu a × b = b × a
4. Sifat asosiatif perkalian, yaitu a × (b × c) = (a × b) × c
5. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu: a × (b ± c) = (a × b) ± (a × c)

Pada perkalian antarsuku aljabar, kita dapat menggunakan sifat distributif sebagai konsep dasarnya. Pada bahasan ini akan dipelajari mengenai perkalian suku satu dengan suku dua atau dengan suku banyak dan perkalian antara suku dua dengan suku dua.

a.                    Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua atau Suku Banyak

Berikut ini disajikan beberapa contoh perkalian suku satu, baik perkalian dengan suku dua atau dengan suku banyak.

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut ini!
a. 4x (x - 2y)
b. 8a (3ab - 2ab² - 8ab)

Penyelesaian:

Gunakan sifat distributif untuk menyelesaikan permasalahan di atas.

a. 4x (x – 2y) = (4x . x) – (4x (2y))
                      = 4x² – 8xy
b. 8a (3ab – 2ab² – 8ab)

• = 8a ((3ab – 8ab) – 2ab²)
• = 8a ((-5ab) – 2ab
• = (8a x (-5ab)) - (8a . 2ab²)
• = -40a²b – 16a²b² (bagi dengan –8)
• = 5a²b + 2a²b²

a.                   Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua

Masih sama dengan perkalian sebelumnya, penyelesaian perkalian suku dua atau binomial tetap menggunakan konsep dasar sifat distributif.Misalkan kita mempunyai suku dua (binomial) yang berbentuk (a + b) dan (c + d). Langkah-langkah penyelesaian yang harus dilakukan adalah seperti terlihat pada gambar berikut.

Jadi (a + b)(c + d) = (ac + bc) + (ad + bd)

Perkalian suku dua dengan suku dua merupakan bentuk perkalian antara suku dua dengan dirinya sendiri atau dapat pula diartikan sebagai pengkuadratan suku dua. Misalkan kita mempunyai suku dua (x+y), maka langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

Tentukan hasil kali dari (x + 2)², kemudian sederhanakan!

Penyelesaian:
(x + 2)² = (x + 2)(x + 2)

= x² + 2x + 2x + 2 × 2

= x² + 2(2x) + 4

= x² + 4x + 4
Jadi (x + 2)² = x² + 4x + 4

Ø  Pembagian

Operasi hitung dalam pembagian bentuk aljabar , yaitu sama halnya dengan pembagian bentuk bilangan bulat . Dalam bentuk bilangan bulat , untuk menyelesaikan suatu permasalahan pembagian bentuk aljbar maka langkah pertama harus mengetahui faktor persekutuan dari bentuk aljabar tersebut

Contoh            :

Bentuk pembagian aljabar :

 an : a  = an/a

             = n

keterangan :

Dalam pembagian bentuk aljabar , langkah pertama yaitu merubah menjadi bentuk pecahan dimana penyebutnya adalah pembaginya .

Setelah mengubah menjadi bentuk pecahan maka selanjutnya adalah menentukan faktor persekutuan dari kedua bentuk aljabar tersebut .

Untuk memudahkan dalam mempelajari operasi hitung dalam pembagian bentuk aljabar , perhatikan contoh soal dibawah ini :

a. Tentukan hasil pembagian dari bentuk – bentuk aljabar berikut :

1. 2x : 2
2. 24x² y + 12 xy²  : 4xy

Jawab :

1.) 2x : 2 = 2x / 2

            = x

2.)  24x² y + 12 xy²  : 4xy

Cara 1

  24x² y + 12 xy²    /   4xy

 = 24x² y  / 4xy  +    12xy²  / 4xy

= 6x + 3y

Cara 2 

 24x² y + 12 xy²    /   4xy          faktor persekutuannya adalah 4xy

= 4xy ( 6x + 3y ) / 4xy

=  4xy ( 6x + 3y ) / 4xy 

= 6x + 3y

Ø  Perpangkatan

( a + b )ⁿ  = ( a + b )  x ( a + b ) x  ( a + b ) , . . . x ( a + b )

Dengan ( a + b ) sebanyak n
Sebelum Mengetahui bagaimana cara untuk menyelesaikan perpangkatan bentuk aljabar , maka yang perlu diperhatikan yaitu :

• abⁿ   berbeda dengan (ab )ⁿ 

Dalam bentuk abⁿ  maka yang dipangkatkan n  hanya b nya saja , namun pada bentuk (ab)ⁿ   maka yang dipangkatkan n semuanya , yaitu (ab)

Contoh :

( 2a )²    = ( 2a )( 2a ) = 4a²

Sedangkan

2a²     = 2 x a x a = 2a²

• ( -ab )ⁿ  berbeda dengan  – (ab )ⁿ

Dalam bentuk ( -ab )ⁿ  ,maka yang dipangkatkan n adalah   ( -ab ) . Sedangkan dalam bentuk – (ab )ⁿ  yang dipangkatkan n adalah ab.

Cara menyelesaikan Perpangkatan Aljabar 

Apabila suatu bilangan aljabar berpangkat 2 maka masih mudah dalam mengerjakannya namun bagaimana cara untuk mengerjakan atau menyelesaikan perpangkatan aljabar yag pangkatnya lebih dari 2 ?

Sebelum mengetahui bagaimana cara untuk menyelesaikan perpangkatan aljabar yang lebih dari dua , kita harus mengetahui terlebih dahulu mengenai segitiga pascal . Mengapa demikian ? Karena dalam penyelesaian perpangkatan aljabar segitiga pascal sangat membantunya .

 Perhatikan segitiga pascal berikut ini :

Cara penggunaan segitiga pascal dalam penyelesaian perpangkatan aljabar:

( a + b )⁰  = 1

( a + b )¹  = a + b

( a + b )²  = a²  +  2ab  + b²

( a + b )³  = a³  +  3a²b +  3ab²  + b³

( a + b )⁴  = a⁴  +  4a³b +  6a²b²  + 4ab³ + b⁴

( a + b )⁵ =  a⁵  +  5a⁴b +  10a³ b²  + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Contoh Soal :

1. ( -2x )² = ( -2x ) x ( -2x )

                        = 4x²

2.      ( x + 2y)²   =  x²  +  2(2xy)  + 2xy²

                   =  x²  +  4xy  + 2xy²

3.      ( x + 2 )³  =  x³  +  3x²2 +  3×2²  + 2³

                      = x³ + 6x² + 12x + 8

Tips dalam menyelesaikan perpangkatan aljabar :

a. Memahami bentuk perpangkatan .

b. Memahami pola dalam segitiga pascal , ( a+b )ⁿ

c. Mensubstitusikan  dari bentuk perpangkatan aljabar kedalam pola  segitiga pascal .

 Pemfaktoran Dalam Bentuk Aljabar

Pemfaktoran bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku ke dalam bentuk perkalian atau faktor.

1.                                      Hukum Distributif dan Faktor Persekutuan Aljabar

Masih ingat dengan hukum distributif untuk bilangan a, b, c anggota bilangan real? pada hukum distributif berlaku aturan.

Untuk memfaktorkan bentuk aljabar dapat menggunakan hukum distributif. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari faktor persekutuan terbesar dari setiap suku aljabar.

Contoh soal :

a.         3x² y + 6xy²

Jawab : 3x² y + 6xy²
FPB dari  3x² y + 6xy²  adalah 3xy
jadi bentuk pemfaktorannya :   3x² y + 6xy²  =  3xy ( x + 2y )

b.        2a²  + 8a² b

Jawab : 2a²  + 8a² b
FPB dari 2a²  + 8a² b = 2a
jadi , bentuk pemfaktorannya : 2a²  + 8a² b = 2a ( a + 4ab )

2.                            Faktorisasi Bentuk x² + 2xy + y²

Hasil perkalian dari (x + y)² adalah x² + 2xy + y². Bentuk seperti ini disebut sebagai bentuk kuadrat sempurna.

Bentuk kuadrat sempurna mempunyai beberapa ciri khusus, yaitu:
a. Koefisien peubah pangkat dua (x²) sama dengan 1.
b. Konstanta merupakan hasil kuadrat setengah koefisien x.

Contoh soal :

Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x² + 8x + 16!

Jawab :

 x² + 8x + 16 = x² + 4x + 4x + 16

= (x² + 4x) + (4x + 16)

= x (x + 4) + 4(x + 4)

= (x + 4) (x + 4)
= (x + 4)²

Jadi faktor dari x² + 4x + 16 adalah (x + 4)²

3.                                 Faktorisasi Bentuk Kuadrat ax² + bx + c

a.      Pemfaktoran Aljabar Dalam Bentuk  ax²  + bx + c = 0 , dan a = 0

Contoh soal :                                                                   

a.       a ² + 7a + 12

jawab : a ² + 7a + 12 = ( a + 4 ) ( a + 3 )

karena  angka 4 dan 3 diatas apabila  4 + 3 = 7 dan 4 x 3 = 12

b.       p² + 6p +8

jawab :  p² + 6p + 8 = ( p + 2 ) ( p + 4 )

karena  angka 2 dan 4 diatas apabila 2 + 4 = 6 dan apabila 2 x 4 = 8

a.      Pemfaktoran Aljabar Dalam Bentuk  ax²  + bx + c = 0 , dan a ≠ 0

Contoh soal :

2x²  + 11x – 6

a x c = m x n , m + n = b

jadi , angka yang cocok adalah 12 dan – 1 , karena 2 x -6 = 12  x -1 dan 12 + ( -1 ) = 11 maka

2x²  + 11x – 6 = 2x²  + 12x – x – 6

= 2x ( x + 6 ) -( x + 6 )

= ( 2x -1 ) ( x + 6 )

https://idschool.net/smp/operasi-hitung-bentuk-aljabar/

https://rumusrumus.com/rumus-pemfaktoran-aljabar/

https://rumusrumus.com/rumus-perpangkatan-aljabar/

https://www.scribd.com/doc/212221871/SEJARAH-ALJABAR