Sejarah
Munculnya Geometri Non Euclid
Awal abad ke-19 akhirnya akan
menyaksikan langkah-langkah yang menentukan dalam penciptaan non-Euclidean geometri.
Sekitar 1830, Hungaria matematika dan Rusia matematika Nikolai Lobachevsky secara terpisah
diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik
disebut Bolyai-Lobachevskian geometri, baik sebagai matematikawan, independen
satu sama lain, adalah penulis dasar non-Euclidean geometri. Gauss disebutkan
kepada ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah
dikembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelumnya, meskipun ia tidak
mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean
dengan meniadakan paralel mendalilkan, Bolyai bekerja di luar geometri di mana
kedua Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada k
parameter. Bolyai berakhir karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin
untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri alam semesta
fisik Euclid atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.János BolyaiBernhard Riemann , dalam sebuah kuliah yang
terkenal pada 1854, mendirikan bidang geometri Riemann , membahas khususnya
ide-ide sekarang disebutmanifold , Riemannian metrik , dan kelengkungan . Ia dibangun sebuah keluarga tak
terbatas geometri yang tidak Euclidean dengan memberikan rumus untuk keluarga
metrik Riemann pada bola unit dalam ruang Euclidean . Yang paling sederhana ini
disebut geometri berbentuk bulat panjang dan
dianggap menjadi geometri non-Euclidean karena kurangnya garis paralel.
Geometri Non-Euclides timbul
muncul karena para ahli matematika berusaha membuktikan kebenaran dari postulat
yang kelima dari Euclid dengan mendasarkan keempat postulat sebelumnya.
Matematikawan John Playfair mencoba mengganti
postulat kelima dengan Aksioma Playfair yaitu:
1. melalui satu titik yang diketahui, tidak pada suatu garis
yang diketahui, hanya dapat dibuat suatu garis paralel dengan garis itu. Atau,
2. dua garis yang berpotongan tidak mungkin paralel dengan
garis yang sama.
Melalui titik P diluar garis m hanya dapat dibuat sebuah
garis yang sejajar dengan m. Jika g dan berpotongan maka g dan k tidak mungkin
sejajar.
Jika kita perhatikan kembali postulat parallel dari Geometri
Euclides bunyinya kurang lebih adalah sebagai berikut “melalui satu titik di
luar sebuah garis dapat dibuat tidak lebih dari satu garis yang parallel dengan
garis tersebut”. Sedangkan postulat parallel dari Geometri Hiperbolik atau
Geometri Lobachevsky yang ditemukan dalam tahun 1826 adalah sebagai berikut:
“Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat dibuat lebih dari satu garis
(tepatnya dua garis) yang parallel dengan garis tersebut”. Perlu kita
perhatikan bahwa dalam Geometri Hiperbolik garis yang tidak memotong garis yang
lain tidak berarti bahwa garis itu parallel dengan garis tersebut.
Seperti telah kita ketahui
Geometri NonEuclides timbul karena para matematikaawan berusaha untuk
membuktikan postulat kelima dari Euclides. Jadi Geometri Non-Euclides masih
berdasarkan empat postulat pertama dari Euclides dan hanya berbeda pada
postulat kelimanya. Dengan demikian Geometri Non-Euclides termuat dalam
Geometri Absolut
Dari kelima aksioma Euclides,
jika aksioma kesejajaran dihilangkan maka geometri ini dinamakan Geometri
Netral (The Neutral Geometry) atau Geometri Absolut. Apabila dalam geometri
yang menganut aksioma I – V, diberlakukan juga aksioma yang
mengatakan bahwa melalui sebuah titik P di luar sebuah garis g ada lebih dari satu
garis yang sejajar dengan g, maka geometri ini dinamakan geometri Lobachevsky.
Pengertian Matematika Modern (Geometri Non-Euclid)
Non-Euclidean
geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar
berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik . Ini adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah,
memiliki arti dalam matematika yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk
memiliki dalam bahasa Inggris umum. Ada banyak sekali geometri
yang tidak geometri Euclidean , tetapi hanya dua yang disebut sebagai non-Euclidean
geometri.
Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean
adalah sifat paralel baris. Euclid ‘s kelima mendalilkan, yang paralel mendalilkan , setara dengan yang Playfair
postulat yang menyatakan
bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang
diketahui ℓdan A titik, yang tidak pada ℓ, ada tepat
satu garis melalui A yang tidak berpotongan ℓ. Dalam
geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak terhingga banyak baris melalui A ℓ tidak berpotongan,
sementara dalam geometri eliptik, setiap baris
melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbolik , geometri berbentuk
bulat panjang , dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut).
Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara
geometri adalah mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang
dalam bidang dua dimensi yang baik tegak lurus ke saluran ketiga:
Dalam geometri Euclidean garis tetap
konstan jarak dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga
tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel.
Dalam geometri hiperbolik mereka “kurva pergi”
satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari
titik persimpangan dengan tegak lurus umum, garis-garis ini sering disebut
ultraparallels.
Dalam geometri berbentuk bulat panjang garis
“kurva ke arah” satu sama lain dan akhirnya berpotongan.
Macam – Macam Geometri Non Euclid
A. Geometri Hiperbolik
Geometri
hiperbolik merupakan salah satu bentuk dari geometri non-Euclid yang muncul
akibat kontroversi terhadap postulat kesejajaran euclid. Didalam geometri
Euclid terdapat lima postulat (aksioma/teorema) yang sangat terkenal. Empat postulat
pertama sangat jelas dan mudah dibuktikan oleh para matematikawan pada saat
itu, tetapi postulat yang kelima menimbulkan perdebatan diantara para
matematikawan. Postulat kelima tersebut dikenal dengan postulat kesejajaran
geometri euclid. Hal inilah yang menjadi titik tolak munculnya geometri
non-euclid. Geometri hiperbolik adalah geometri yang menggunakan empat postulat
geometri Euclid dan mengganti postulat kesejajaran hiperbolik. Akibat
pergantian postulat ini terjadi sifat antara geometri Euclid dan geometri
hiperbolik salah satunya adalah jumlah ukuran sudut segitiga. Pada geometri
Eucilde jumlah ukuran sudut segtiga dalah 180 derajat. Sedangkan pada geometri
hiperbolik jumlah ukuran sudut segitiga kurang dari 180 derajat.
Setelah karya Gauus, Lobachevsky
dan bolyai, muncul pertanyaan yang lain
“seperti apakah model dari geometri hiperbolik?”. Pertanyaan ini terjawab
Eugenio Beltrami tahun 1868, Dia yang pertama kali menunjukkan bahwa bidang yang
berbentuk pseudosphere mempunyai kelengkungan yang sesuai untuk model sebagian
ruang hiperbolik. Awalnya Lobachevsky menamakan geometri temuannya dengan
sebutan “Geometri eImaginaire” karena dia belum bisa memahami model untuk jenis
geometrinya. Geometri hiperbolik diperkenalkan oleh Felik Klein tahun 1871.
Geometri hiperbolik sering jaga disebut geometri Lobachevsky, untuk memudahkan
dan menandai karya lobachevsky sehingga postulatnya dikenal dengan postulat
kesejajaran lobachevsky.
Model Geometri Hiperbolik
Geometri Hiperbolik : segiempat
Saccheri
Kali ini kita akan lebih mengenal
salah satu konsep dalam geometri hiperbolik yaitu segiempat Saccheri. Boleh
dibilang konsep ini adalah salah satu konsep yang mempelopori adanya geometri
non-Euclid. Sepertinya postulat ke-5 dari Euclid menjadi dasar dari fenomena
ini. Bahkan para ahli geometri terdahulu
lebih menganggap postulat ini sebagai teorema dari pada aksioma.
Gambar A.SegiempatSaccheri
Segiempat Saccheri adalah sebuah
segiempat ABCD dengan dua sudut siku-siku berdekatan yaitu pada A dan B, dengan
sisi AD≃DC. Sisi AB disebut sisi alas dan sisi DC disebut sisi atas.
Nanti akan kita temukan bahwa
aksioma hiperbolik mengakibatkan sudut C dan D pada Gambar A bukan sudut
siku-siku seperti apa yang berlaku pada geometri Euclid. Uniknya pada segiempat
Saccheri ini memiliki teorema-teorema yang berlaku baik pada geometri Euclid
maupun hiperbolik. Hal ini mungkin karena dalam pembuktiannya, teorema-teorema
itu menggunakan empat postulat pertama Euclid dan konsep geometri hiperbolik.
Sifat-sifat Geometri Hiperbolik
›
Jika diberikan garis l dan titik P di luar l, maka terdapat lebih dari satu
garis yang melalui P dan paralel dengan l.
›
Jumlah sudut pada segitiga kurang
dari pada 180º.
›
Jika dua garis paralel dilalui oleh sebuah garis, maka besar sudut-sudut
yang berseberangan besarnya tidak sama.
›
Bisa dibuat persegi panjang.
›
Terdapat dua segitiga yang serupa, lebih dari itu terdapat dua segitiga
yang kongruen.
B. Geometri Eliptik
Geometri Non
Euclid lahir setelah terpecahkannya permasalahan postulat
kesejajaran Euclid oleh Bolya dan
Lobachevsky. Geometri non euclid diantaranya geometri Lobachevsky dan geometri
Riemann. Geometri Lobachevsky disebut geometri Hiperbolik, mengingat bahwa
melalui 1 titik di luar suatu garis dapat dibuat 2 garis yang sejajar garis tersebut.
Geometri Riemann disebut geometri Eliptik, mengingat tidak ada garis yang dapat
dibuat sejajar garis tersebut. Sedangkan geometri Euclid disebut geometri
Parabolik, mengingat bahwa hanya ada 1 garis yang sejajar garis tersebut.
Geometri Riemann kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euclid dengan
mengasumsikan prinsip-prinsip
berikut ini:
Postulat kesejajaran Reimann: Tidak
ada garis yang sejajar.
Sedangkan Postulat Kesejajaran
Euclid mengatakan bahwa Dua garis yang tegak lurus
dengan garis yang sama akan sejajar.
Diketahui: dua garis yang berbeda l,
m yang tegak lurus dengan n (gambar (a).Akan dibuktikan l sejajar dengan m
Bukti
Andaikan l tidak sejajar dengan m
maka l akan berpotongan dengan m di titik C (gambar(b)). Misalkan l, m
berpotongan dengan n di A, B.
Langka
1. Perluas CA melalui panjangnya
sendiri 1. Segmen dapat digandakan
Melalui A ke C’
2. Gambar C ’B 2. D ua t itik m
enentukan s uatu g aris
3. ΔABC kongruen dengan ΔABC’ 3. Sis
sudut sisi
4. ∠ABC = ∠ABC’ 4. B agian y ang s ehadap
Jadi ∠ ABC’ merupakan sudut siku-siku
BC dan BC’ tegak lurus AB
5. BC dan BC’ serupa
Jadi, AC dan BC, atau l dan m
memiliki titik C dan C’ secara bersama-sama.
6. Jadi l dan m serupa
Hal ini kontradiksi dengan hipotesis
kita bahwa l dan m adalah garis yang berbeda.
Jadi pengandaian kita salah dan
teorema berlaku.
Alasan
1. Segmen dapat digandakan
2. Dua titik menentukan garis
3. Sisi sudut sisi
4. Bagian yang sehadap
5. Hanya ada satu garis yang tegak lurus
dengan garis yang diketahui pada titik pada garis yang diketahui pula.
6. Dua titik menentukan garis
Analisis pembuktian Riemann
ü Pandangan penting adalah Langkah 6, bahwa “l
dan m serupa” karena garis tersebut memiliki titik C dan C’ secara
bersama-sama. Langkah ini akan gagal jika C dan C’ tidak berbeda
ü Euclid mengasumsikan bahwa setiap garis
“memisahkan bidang menjadi dua sisi yang berhadapan (Separation Principle)
ü Dalam pandangan sifat pemisahan, konstruksi
dalam Langkah 1 pembuktian di atas
(untuk
memperluas CA melalui panjangnya C’) menjamin bahwa C dan C’ berada pada sisi
sehadap dari n dan merupakan titik yang berbeda.
ü Tanpa
sifat pemisah, keberadaan C dan C’ tidak memiliki justifikasi formal dan bukti tersebut
akan gagal.
ü Menurut
Riemann Jika prinsip pemisahan tersebut
diterima, C dan C’ haruslah merupakan titik yang berbeda,
ü Jika mengabaikan prinsip yang menyatakan bahwa
“ dua titik menentukan suatu
garis”,
artinya memperbolehkan dua garis untuk berpotongan dalam dua titik.
Sumber :
Komentar
Posting Komentar